植物世界的“数学天赋” 斐波那契数列“黄金角”

人类常常用“平凡”的字眼来形容身边的花草树木,如“我是一棵平凡的小草”,“他就像一棵平凡的白杨树”等等。殊不知这些看似呆头呆脑的植物,它们的进化历史远比人类悠久得多。在长期的进化过程中,植物一直在不断地强化和完善着自己的生存技能,并因此获得了惊人的数学天赋。

八角金盘


造型里藏有“曲线方程”
你不是画家,但只要你具备一定的数学知识,也可以画出优美的植物造型,因为,植物的优美造型总是和特定的“曲线方程”密切相关。
17世纪,法国著名数学家笛卡尔根据自己所研究的一簇花瓣和叶形的曲线特征,列出了“x3+y3-3axy=0”的曲线方程式,使人们认识到了植物叶子和花朵的形态的数学规律性。在这个方程里,只要你变换一下参数“a”的值,就可以描绘出许多种叶子或花瓣的外形图。这个曲线方程就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线”,数学家还给它取了一个富有诗意的名字——“茉莉花瓣曲线”。
后来又有不少学者对三叶草、酸模、睡莲、槭树、垂柳、常春藤等植物的花和叶进行了研究,并找到了描绘它们的曲线方程:ρ=asinkφ,其中a和k是常数,k的大小确定花瓣的形态,a的大小确定花瓣的长度。在现代数学中,这类能够描绘花叶外部轮廓的曲线,被统称为“玫瑰形线”。
科学家还把植物的螺旋状缠绕茎称为“生命螺旋线”。的确,如菟丝子的藤蔓类植物总是以螺旋线的造型攀附于邻近的植物,以便在树林里争夺阳光,获取营养,来保证自己的生存。在植物王国,人们很容易发现螺旋线这种迷人的数学曲线。
为什么植物的许多造型会包藏着富有个性特征的“曲线方程”?科学家认为,许多植物造型选择“曲线方程”,首先表明植物发展变化的有序特性;其次,植物在造型上选择“曲线方程”模式,就像鸟对翅膀造型的选择一样,它有减少阻力和防积水的内在需求,还有增强抗倒伏的作用。由此可见,“曲线方程”造型模式是植物在长期生存斗争中形成的“智慧结晶”。
植物的造型智慧不但增强了自身的生存能力,还激发了人类越来越多的创造灵感。在流体工程技术方面,人们创造出了具有螺旋线形状的水轮机导管,从而降低了水在导管里运输过程中的能量消耗。还有锄草机上的切刀也是按照螺旋线原理来设计的。至于“茉莉花瓣曲线”和“玫瑰形线”,人们可以任意改变这些曲线方程的参数数值,绘制出无数的美丽叶子和花朵的外形图案,用它来作为美化生活的装饰图。

含羞草


非常偏爱“斐波那契数列”
科学家还发现,植物的叶子、花瓣和果实的数目,都和一个奇特的数列非常吻合——著名的斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89这个数列有一个规律,就是从第3个数字开始,每一个数字都是前二项之和。说来也怪,植物身上许多地方,都或多或少地与这个数列有关系。
只要你略微留意一下就会发现,植物叶子相互之间的排列是相当有序的。我们不妨以桃树叶为例,任意取一个桃树叶子的叶柄基部(即叶柄开始的部位)作为起点,向上用线连接各个叶子的叶柄基部,就可以发现这是一条显而易见的螺旋线,我们沿着这条螺旋线盘旋而上,直到有一片叶子的叶柄基部恰好与起点叶的叶柄基部在垂直方向上完全重合,这个点就可以看作是螺旋线终点。人们把从起点到终点之间的螺旋线绕茎周数,称为叶序周。通过观察,我们会发现桃树叶子的叶序周为2,也就是从起点到终点的螺旋线在树枝上绕了两周,而在2周的螺旋空间里,排列了5片桃树叶。各种植物的叶序周都呈现出一个明显的排列规律:例如榆,叶序周为1,有2叶;桑,叶序周为1,有3叶;梨,叶序周为3,有8叶;杏,叶序周为5,有13叶;松,叶序周为8,有21叶用公式表示分别为:1/2、1/3、3/8、5/13、8/21。这里,叶序的周数为分子,叶数为分母,而它们全都是由斐波那契数列的数组成的,而且分子和分母的数字关系是,它们分别是“斐波那契数列”里的仅有一个数字间隔的两个数,这些是最常见的叶序公式。据植物学家推测,大约有90%植物属于这类叶序。
不仅植物的叶子,植物的花朵也喜欢按“斐波那契数列”排列。你看,花最常见的花瓣数目就是5枚,像梅、桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等,就都开5瓣花。另外鸢尾花、百合花的花瓣有3枚;飞燕草等的花瓣是8枚;瓜叶菊等的花瓣是13枚;向日葵的花瓣有的是21枚,有的是34枚;雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。总之,每朵花的花瓣的总数大都选择“斐波那契数列”里的数字,而数列之外的花瓣数目则比较少见。
许多植物果实或种子的排列也出现了“斐波那契数列”。你如果观察向日葵的花盘,会发现其种子的排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线,一是顺时针方向,一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的种子数目,你会发现,这两组螺旋线的种子要么是21和34、要么是34和55、或是55和89,每组数字都是斐波那契数列中相邻的两个数,其中前一组数字是顺时针螺旋线上的,后一组数字是逆时针螺旋线上的。再看看菠萝上的鳞片排列,它们虽然不像向日葵花盘排列的那么复杂,但也存在类似的两组螺旋线,其鳞片数目通常是8和13。
为什么植物的叶子、花瓣和果实会按照“斐波那契数列”进行排列?是不是这个数列本身揭示出了某种自然法则?现在还是个谜团。不过,这个看似平凡的数列现在已经吸引了许多学科的科学家的注意力,也许用不了太长的时间,科学家就能发现这个平凡数列里所包藏的“伟大”之处。

黑色角堇


按“黄金角”排列叶子和种子
车前草是我国西北地区常见的一种小草,如果仔细观察,你会发现,车前草叶片那按螺旋线轨迹向上排列的叶柄基部,相邻两者之间的弧度大小非常相近,都接近137.5°。许多植物的叶子像车前草一样,都遵循这种排列模式。科学家发现,按照这种排列模式,叶子可以占有尽可能多的空间,并尽可能多地获取阳光,或承接尽可能多的雨水。
我们熟悉的向日葵的种子排列模式也与车前草一样。数学家测量向日葵种子的排列方式时发现,它们都是按照一个恒定的弧度沿着螺旋轨迹发散,而这个螺旋线弧度就是137.5°。向日葵的种子排列为什么按照这个弧度发散?1979年,英国科学家沃格尔用计算机模拟向日葵种子的排列方法,结果发现,若向日葵排列的发散角为137.3°,那么花盘上就会出现间隙,且只能看到一组顺时针方向的螺旋线;若发散角为137.6°,花盘上也会出现间隙,而此时只会看到一组逆时针方向的螺旋线;而只有当发散角等于137.5°时,花盘上才呈现彼此紧密镶合的没有缝隙的两组反向螺旋线。这个统计结果显示,只有选择137.5°发散角排列模式,花盘上种子的分布才最多、最紧密和最匀称。
这137.5°角有何奇特之处?我们如果用黄金分割率0.618来划分360°的圆周,所得角度约等于222.5°,而在整个圆周内,与222.5°角对应的外角就是137.5°。所以137.5°角也是圆的黄金分割角,也叫做黄金角。研究发现,一些植物的叶子、种子之所以会按照黄金角排列,是有其内在原因的。科学家做了这样一个实验:他们将能够盛装硅酮油的圆盘放进垂直磁场中,然后让硅酮油在一定的时间间隔下不断滴落在圆盘中心。当他们使圆盘边缘的磁场大于圆盘中间的磁场之后,那些滴落的油滴在就会受到一股磁力的冲击,并显现出一种普遍的变化模式——连续的油滴会排列出一条螺线,且螺线的发散角很接近137.5°。这个实验说明,植物之所以会按照黄金角排列它们的叶子或果实之类,是地球磁力场对植物长期影响造成的。但让人感到惊奇的是,由地磁影响创造的植物“黄金角”排列模式竟然发挥出了最有利于通风、采光和与排列密度兼顾的最佳排列效果。这不能不再次让人感叹大自然造化的神工和植物的灵性。
植物的“黄金角排列模式”给人们以很多有益的启示。建筑师们参照车前草叶片排列的数学模式,设计出了新颖的“黄金角”高楼,最佳的采光效果使得高楼的每个房间都很通风、明亮。我们日常生活中常用的人造扇子都是圆心角为137.5°的扇形,因为观察发现,若将一个圆分成两个扇形,那个较小的扇形最具美感,它的角度就是137.5°。
由此看来,植物惊人的“数学天赋”不但能给人类以智慧启迪,还能激发人类的艺术灵感。

缫丝花

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